ค่อนข้างท้าทายที่จะเห็นด้วยกับการกำหนดราคาที่ถูกต้องของสินทรัพย์ที่สามารถซื้อขายได้แม้ในวันนี้ นั่นเป็นเหตุผลที่ราคาหุ้นมีการเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา ในความเป็นจริง บริษัท แทบจะไม่เปลี่ยนแปลงการประเมินมูลค่าของ บริษัท ในแต่ละวัน แต่ราคาหุ้นและการประเมินมูลค่าของ บริษัท เปลี่ยนแปลงทุกวินาที ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความยากลำบากในการหาข้อตกลงเกี่ยวกับราคาปัจจุบันสำหรับสินทรัพย์ที่สามารถซื้อขายได้ซึ่งนำไปสู่โอกาสในการเก็งกำไร อย่างไรก็ตามโอกาสในการเก็งกำไรเหล่านี้สั้นมาก
ทั้งหมดนี้ลดลงจนถึงปัจจุบันเพื่อประเมินมูลค่าปัจจุบัน - ราคาปัจจุบันในปัจจุบันที่เหมาะสมสำหรับผลตอบแทนในอนาคตที่คาดไว้คืออะไร?
ในตลาดที่มีการแข่งขันเพื่อหลีกเลี่ยงโอกาสในการเก็งกำไรสินทรัพย์ที่มีโครงสร้างการจ่ายผลตอบแทนเหมือนกันจะต้องมีราคาเท่ากัน การประเมินค่าตัวเลือกเป็นงานที่ท้าทายและมีการกำหนดราคาที่สูงขึ้นเพื่อนำไปสู่โอกาสในการเก็งกำไร Black-Scholes ยังคงเป็นหนึ่งในโมเดลยอดนิยมที่ใช้สำหรับตัวเลือกการกำหนดราคา แต่มีข้อ จำกัด ของตัวเอง (ดูข้อมูลเพิ่มเติมได้ที่ ราคาตัวเลือก ) รูปแบบการกำหนดราคาแบบ Binomial เป็นอีกวิธีที่นิยมใช้ในการกำหนดราคา บทความนี้กล่าวถึงตัวอย่างที่ครอบคลุมทีละขั้นตอนและอธิบายแนวคิดความเสี่ยงที่เป็นกลางในการใช้โมเดลนี้ (สำหรับการอ่านที่เกี่ยวข้องโปรดดู: การแบ่งโมเดลสองแถวเป็นค่าตัวเลือก )
บทความนี้อนุมานว่าผู้ใช้มีความคุ้นเคยกับตัวเลือกและแนวคิดและข้อกำหนดที่เกี่ยวข้อง
สมมติว่ามีตัวเลือกการโทรไว้ในหุ้นที่มีราคาตลาดปัจจุบันอยู่ที่ 100 เหรียญ ตัวเลือกเอทีเอ็มมีราคาการประท้วงเป็น 100 เหรียญโดยหมดเวลาหนึ่งปี มีผู้ค้าทั้งสองรายคือปีเตอร์และพอลซึ่งทั้งสองเห็นพ้องว่าราคาหุ้นจะเพิ่มขึ้นเป็น 110 ดอลลาร์หรือลดลงเหลือ 90 ดอลลาร์ต่อหนึ่งปี ทั้งคู่เห็นด้วยกับระดับราคาที่คาดไว้ในกรอบเวลาที่กำหนดหนึ่งปี แต่ไม่เห็นด้วยกับความเป็นไปได้ที่จะมีการขึ้น (และลง) ปีเตอร์เชื่อว่าความน่าจะเป็นของราคาหุ้นจะอยู่ที่ 110 เหรียญเป็น 60% ขณะที่ Paul เชื่อว่าเป็น 40%
ขึ้นอยู่กับข้างต้นใครจะยินดีจ่ายราคาเพิ่มสำหรับตัวเลือกการโทร?
อาจเป็น Peter เนื่องจากคาดว่าน่าจะเป็นไปได้สูง
ลองดูการคำนวณเพื่อยืนยันและเข้าใจสิ่งนี้ สินทรัพย์ทั้งสองที่ขึ้นอยู่กับการประเมินค่าคือตัวเลือกการโทรและหุ้นอ้างอิง มีข้อตกลงระหว่างผู้เข้าร่วมว่าราคาหุ้นพื้นฐานสามารถย้ายจากปัจจุบัน $ 100 เป็น $ 110 หรือ $ 90 ในเวลาหนึ่งปีและไม่มีการเคลื่อนไหวราคาอื่นที่เป็นไปได้
ในโลกที่ปราศจากการเก็งกำไรหากเราต้องสร้างพอร์ตโฟลิโอที่ประกอบด้วยสินทรัพย์ทั้งสองนี้ (ตัวเลือกการซื้อและหุ้นอ้างอิง) ไม่ว่าราคาอ้างอิงจะอยู่ที่เท่าไร ($ 110 หรือ $ 90) ผลตอบแทนสุทธิจากพอร์ตการลงทุนเสมอ ยังคงเหมือนเดิมสมมติว่าเราซื้อหุ้นสามัญ 'd' ของตัวเลือกการโทรแบบต้นทางและแบบสั้น ๆ เพื่อสร้างพอร์ตโฟลิกนี้
ถ้าราคาไปที่ $ 110 หุ้นของเราจะมีมูลค่า $ 110 * d และเราจะเสียเงิน $ 10 เมื่อจ่ายเงินค่าโทรสั้น ๆ มูลค่าสุทธิของพอร์ตการลงทุนของเราจะอยู่ที่ (110d - 10)
ถ้าราคาลดลงเหลือ 90 เหรียญหุ้นของเราจะมีมูลค่า $ 90 * d และตัวเลือกจะหมดอายุไร้ค่า มูลค่าสุทธิของพอร์ตการลงทุนของเราจะเท่ากับ (90d)
ถ้าเราต้องการให้มูลค่าของพอร์ตการลงทุนของเรายังคงเหมือนเดิมไม่ว่าราคาของหุ้นอ้างอิงจะอยู่ที่เท่าไหร่ก็ตามมูลค่าของพอร์ตการลงทุนควรจะยังคงเหมือนเดิมในทั้งสองกรณีเช่น อี :
=> (110d - 10) = 90d
=> d = ½
i. อี หากเราซื้อหุ้นครึ่งหนึ่ง (สมมติว่าซื้อเป็นเศษ ๆ เป็นไปได้) เราจะจัดการสร้างพอร์ตการลงทุนเพื่อให้มูลค่าของ บริษัท ยังคงเหมือนเดิมในทั้งสองรัฐที่สามารถทำได้ภายในระยะเวลาหนึ่งปี (จุดที่ 1)
มูลค่าพอร์ตนี้ซึ่งระบุโดย (90d) หรือ (110d -10) = 45 เป็นเวลาหนึ่งปี ในการคำนวณมูลค่าปัจจุบันสามารถลดอัตราผลตอบแทนจากการลงทุนโดยไม่คิดความเสี่ยง (สมมติว่า 5%)
= 90d * exp (-5% * 1 ปี) = 45 * 0.9523 = 42.85 => มูลค่าปัจจุบันของพอร์ต
เนื่องจากปัจจุบันมีพอร์ตการลงทุน ราคาตลาด 100 เหรียญ) และ 1 โทรสั้นควรเท่ากับมูลค่าปัจจุบันที่คำนวณจาก i อี
=> 1/2 * 100 - 1 * ราคาเสนอขาย = 42. 85
=> ราคาเสนอ = 7 เหรียญ 14 i. อี ราคาโทรศัพท์ ณ วันนี้
เนื่องจากเป็นไปตามสมมติฐานข้างต้นว่ามูลค่าพอร์ตจะยังคงเท่าเดิมโดยไม่คำนึงถึงราคาที่อ้างอิง (จุดที่ 1 ข้างต้น) ความเป็นไปได้ที่การเคลื่อนไหวขึ้นหรือลงจะไม่เกิดขึ้นที่นี่ พอร์ตการลงทุนยังคงปราศจากความเสี่ยงโดยไม่คำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงราคาพื้นฐาน
ในทั้งสองกรณี (สมมติว่าปรับขึ้นเป็น 110 เหรียญและลดลงเหลือ 90 ดอลลาร์) พอร์ตการลงทุนของเรามีความเสี่ยงต่อความเสี่ยงและมีอัตราผลตอบแทนที่ไม่มีความเสี่ยง
เพราะฉะนั้นทั้งพ่อค้าปีเตอร์และพอลจะเต็มใจที่จะจ่ายเงิน $ 7 เดียวกัน 14 สำหรับตัวเลือกการโทรนี้โดยไม่คำนึงถึงความรู้สึกที่แตกต่างกันของตัวเองเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของการเคลื่อนที่ขึ้น (60% และ 40%) ความน่าจะเป็นที่รับรู้ของแต่ละบุคคลไม่ได้มีบทบาทใด ๆ ในการประเมินค่าตัวเลือกดังที่ได้จากตัวอย่างข้างต้น
ถ้าสมมุติว่าความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลมีความสำคัญอยู่แล้วจะมีโอกาส arbitrage ในโลกแห่งความเป็นจริงโอกาสในการเก็งกำไรดังกล่าวมีอยู่กับความแตกต่างของราคาเล็กน้อยและจะหายไปในระยะสั้น
แต่ความผันผวนมาก hyped ในการคำนวณทั้งหมดเหล่านี้ซึ่งเป็นปัจจัยที่สำคัญ (และที่สำคัญที่สุด) ที่มีผลต่อการกำหนดราคาตัวเลือก?
ความผันผวนได้รวมอยู่ในลักษณะของการกำหนดปัญหาแล้ว โปรดจำไว้ว่าเราสมมติว่ามีสองระดับ (และมีเพียงสอง - และด้วยเหตุนี้ชื่อ "สองชื่อ") ของระดับราคา ($ 110 และ $ 90) ความผันผวนเป็นนัยในสมมติฐานนี้และโดยอัตโนมัติรวม - 10% ทั้งสองวิธี (ในตัวอย่างนี้)
ลองตรวจดูสติเพื่อดูว่าวิธีการของเราถูกต้องและสอดคล้องกับการกำหนดราคา Black-Scholes ที่ใช้กันทั่วไปหรือไม่ (ดู: Black-Scholes Option Valuation Model )
นี่คือภาพหน้าจอของผลการคำนวณตัวเลือก (มารยาทของ OIC) ซึ่งตรงกับค่าที่เราคำนวณ
น่าเสียดายที่โลกแห่งความเป็นจริงไม่ง่ายเหมือน "เพียงสองรัฐ" เท่านั้น มีหลายระดับราคาที่สามารถทำได้โดยหุ้นจนกว่าจะถึงเวลาที่จะหมดอายุ
เป็นไปได้หรือไม่ที่จะรวมหลายระดับไว้ในรูปแบบการกำหนดราคาสองทางซึ่ง จำกัด เฉพาะสองระดับเท่านั้น? ใช่มันเป็นไปได้มากและเข้าใจให้เราได้รับในคณิตศาสตร์บางอย่างง่าย
ขั้นตอนการคำนวณขั้นกลางไม่กี่ขั้นตอนจะถูกข้ามไปเพื่อให้สรุปและเน้นผลลัพธ์
หากต้องการดำเนินการต่อไปลองหารือเกี่ยวกับปัญหาและแนวทางแก้ไขปัญหานี้:
'X' คือราคาตลาดของหุ้นในปัจจุบันและ 'X * u' และ 'X * d' คือราคาในอนาคตสำหรับการเคลื่อนไหวขึ้นและลง ปีต่อมา Factor 'u' จะมีค่ามากกว่า 1 เพราะมันบ่งบอกถึงการเคลื่อนย้ายและ 'd' จะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1. สำหรับตัวอย่างข้างต้น u = 1 1 และ d = 0 9.
ผลตอบแทนทางเลือกในการโทรคือ 'P ขึ้น ' และ 'P dn ' สำหรับการเคลื่อนที่ขึ้นและลงในขณะที่หมดอายุ
ถ้าเราสร้างพอร์ตการลงทุนของหุ้นที่ซื้อในวันนี้และตัวเลือกการโทรแบบสั้น ๆ หนึ่งตัวหลังจากนั้นก็ให้ถือว่า 't':
มูลค่าของพอร์ตโฟลิโอในกรณีที่มีการเคลื่อนไหวสูงขึ้น = s * X * u - P
มูลค่าของพอร์ตการลงทุนในกรณีที่ลดลง = s * X * d - P dn
สำหรับการประเมินมูลค่าที่คล้ายกันในกรณีใดกรณีหนึ่งของการเคลื่อนไหวของราคา
=> s * X * u - P < ขึ้น = s * X * d - P dn => s = (P
ขึ้น - P dn ) / (X * (ud. )) = ไม่มี การถือครองหุ้นเพื่อซื้อหุ้นที่ไม่มีความเสี่ยง มูลค่าปัจจุบันของพอร์ตการลงทุน ณ สิ้นปี 't' จะ
ในกรณีที่มีการเคลื่อนย้ายขึ้นไป = s * X * u - P
ขึ้น = (P ขึ้น - P dn ) / (X (ud)) * X * u - P ขึ้น มูลค่าปัจจุบันของข้างต้นสามารถหาได้จากการลดราคา โดยมีอัตราผลตอบแทนจากการลงทุนที่ปราศจากความเสี่ยง
ซึ่งควรจะตรงกับการถือครองหุ้นของหุ้นในราคา X และมูลค่าตามบัญชีสั้น 'c' อี ปัจจุบันถือ (s * X - c) ควรให้คะแนนเหนือ การแก้ปัญหา c ให้ c เป็น:
ถ้าเราให้วงเงินโทรเพิ่มควรเป็นส่วนที่ไม่ใช้แทน
การหา q เป็น
แล้วสมการข้างบนจะกลายเป็น
การจัดรูปแบบสมการในรูปของ "q" ใหม่ทำให้มุมมองใหม่ขึ้น
"q" ตอนนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นของการเลื่อนขึ้นของต้นแบบ (เนื่องจาก "q" มีความเกี่ยวข้องกับ P
ขึ้น
และ "1-q" มีความเกี่ยวข้องกับ P dn ) โดยรวมแล้วสมการข้างต้นแสดงให้เห็นถึงราคาตัวเลือกวันปัจจุบัน i. อี มูลค่าลดของผลตอบแทนที่หมดอายุ ความน่าจะเป็น "q" นี้แตกต่างจากความน่าจะเป็นของการเคลื่อนที่ขึ้นหรือลงจากจุดอ้างอิง มูลค่าของราคาหุ้น ณ เวลา t = q * X * u + (1-q) * X * d
การเปลี่ยนค่าของ q และ rearranging ราคาหุ้น ณ เวลา t มา
i . อี ในโลกที่สันนิษฐานสองรัฐนี้ราคาหุ้นจะเพิ่มขึ้นตามอัตราผลตอบแทนที่ไม่มีความเสี่ยง i. อี เหมือนกับสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยงดังนั้นจึงยังคงเป็นอิสระจากความเสี่ยงใด ๆนักลงทุนทุกรายไม่ใส่ใจกับความเสี่ยงตามแบบจำลองนี้และถือเป็นรูปแบบความเสี่ยงที่เป็นกลาง
ความน่าจะเป็น "q" และ "(1-q)" เรียกว่าเป็นความน่าจะเป็นความเป็นกลางความเสี่ยงและวิธีการประเมินเป็นที่รู้จักกันในรูปแบบการประเมินความเสี่ยงโดยปราศจากความเสี่ยง
ตัวอย่างข้างต้นมีความต้องการที่สำคัญอย่างหนึ่งอย่างหนึ่งคือโครงสร้างผลตอบแทนในอนาคตต้องมีความแม่นยำ (ระดับ $ 110 และ $ 90) ในชีวิตจริงความชัดเจนดังกล่าวเกี่ยวกับระดับราคาขั้นตอนไม่สามารถทำได้ ราคาค่อนข้างจะเคลื่อนที่แบบสุ่มและอาจปรับตัวได้หลายระดับ
ลองขยายตัวอย่างต่อไป สมมติว่าระดับราคาขั้นตอนที่สองเป็นไปได้ เรารู้ขั้นตอนที่สองการจ่ายผลตอบแทนขั้นสุดท้ายและเราต้องให้ความสำคัญกับตัวเลือกในวันนี้ (เช่นในขั้นตอนเริ่มต้น)
การทำงานย้อนหลังการประเมินขั้นตอนแรกขั้นกลาง (ที่ t = 1) สามารถทำได้โดยใช้ payoffs ขั้นสุดท้ายในขั้นตอนที่สอง (t = (t = 1) การประเมินมูลค่าในปัจจุบัน (t = 0) สามารถทำได้โดยใช้การคำนวณข้างต้น
เพื่อให้ได้ราคาเลือกที่ไม่ 2, ผลตอบแทนที่ 4 และ 5 จะใช้ เพื่อให้ได้ราคาไม่ 3, payoffs ที่ 5 และ 6 จะใช้ สุดท้ายคำนวณผลตอบแทนที่ 2 และ 3 ใช้เพื่อกำหนดราคาที่ไม่ 1.
โปรดทราบว่าตัวอย่างของเราจะสมมติว่าปัจจัยเดียวกันสำหรับการเลื่อนขึ้น (และลง) ในทั้งสองขั้นตอน - u (และ d) จะถูกนำไปใช้ในรูปแบบผสมผสาน
นี่คือตัวอย่างการทำงานที่มีการคำนวณ:
สมมติว่าตัวเลือกการขายมีราคาตีราคาอยู่ที่ 110 ดอลลาร์ขณะนี้ซื้อขายอยู่ที่ 100 เหรียญและหมดอายุในหนึ่งปี อัตราความเสี่ยงฟรีประจำปีอยู่ที่ 5% ราคาคาดว่าจะเพิ่มขึ้น 20% และลดลง 15% ทุกๆ 6 เดือน
ลองหาโครงสร้างปัญหา:
ที่นี่ u = 1 2 และ d = 0.85, X = 100, t = 0
เราได้รับ q = 0 35802832
value ของ put option ในจุดที่ 2,
ที่เงื่อนไข P
ค่าความเชื่อมั่นจะเท่ากับ = 100 * 1 2 * 1 2 = $ 144 นำไปสู่ P
upup = 0 ที่ P updn สภาพเงื่อนไขพื้นฐานจะเท่ากับ 100 * 1 2 * 0 85 = $ 102 นำไปสู่ P
updn = $ 8 ที่เงื่อนไข P dndndn จะอยู่ภายใต้ = 100 * 0 85 * 0 85 = 72 ดอลลาร์ 25 นำไปสู่ P
dndn = 37 เหรียญ 75 p 2 = 0.975309912 * (0 35802832 * 0 + (1-0. 35802832) * 8) = 5.008970741
ในทำนองเดียวกัน p 3 > = 0.975309912 * (0 35802832 * 8 + (1-0 .35802832) * 37.75) = 26. 42958924 และด้วยเหตุนี้มูลค่าของตัวเลือกการวาง p
1 = 0 975309912 * (0 35802832 * 5. 008970741+ (1-0. 35802832) * 26. 42958924) = 18 เหรียญ 29.
ในทำนองเดียวกันรูปแบบไบนารีช่วยให้สามารถแบ่งช่วงเวลาของตัวเลือกทั้งหมดออกไปได้หลายขั้นตอน / ระดับ การใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์หรือสเปรดชีตสามารถทำงานย้อนหลังได้ทีละขั้นตอนเพื่อให้ได้มูลค่าปัจจุบันของตัวเลือกที่ต้องการ สมมติว่ามีตัวเลือก put ประเภทยุโรปซึ่งมี 9 เดือนที่จะหมดอายุด้วยราคาการประท้วง 12 เหรียญและราคาอ้างอิงในปัจจุบันที่ 10 เหรียญ สมมติว่าไม่มีความเสี่ยงอัตรา 5% สำหรับทุกช่วงเวลา สมมติฐานทุก 3 เดือนราคาอ้างอิงสามารถเลื่อนขึ้นหรือลงได้ 20% โดยให้ u = 1 2, d = 0 8, t = 0 25 และ 3 ขั้นตอนต้นไม้ทวินาม ตัวเลขที่เป็นสีแดงแสดงถึงราคาต้นในขณะที่สีแดงแสดงถึงผลตอบแทนของตัวเลือกการขาย ความน่าจะเป็นความเป็นกลางความเสี่ยง q คำนวณเป็น 0 531446.
การใช้ค่า q และค่าตอบแทนที่ t = 9 เดือนค่า t = 6 เดือนจะคำนวณเป็น:
นอกจากนี้การใช้ค่าเหล่านี้ ค่าที่คำนวณที่ t = 6 ค่าที่ t = 3 แล้วที่ t = 0 คือ:
ให้มูลค่าปัจจุบันของ option put เท่ากับ $ 2 18 ซึ่งค่อนข้างใกล้เคียงกับคอมพิวเตอร์ที่คำนวณโดยใช้ Black Scholes Model ($ 2. 3)
Bottom Line
แม้ว่าการใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์จะทำให้การคำนวณแบบเร่งรัดเหล่านี้ง่ายขึ้นการคาดการณ์ราคาในอนาคตยังคงเป็นไปอย่างต่อเนื่อง ข้อ จำกัด ที่สำคัญของโมเดลสองตัวสำหรับการกำหนดราคาตัวเลือก ยิ่งช่วงเวลาดีขึ้นเท่าใดก็ยิ่งยากที่จะทำนายผลตอบแทนได้อย่างแม่นยำในตอนท้ายของแต่ละช่วงเวลา อย่างไรก็ตามความยืดหยุ่นในการรวมการเปลี่ยนแปลงตามที่คาดไว้ในแต่ละช่วงเวลาคือหนึ่งบวกที่เพิ่มขึ้นซึ่งทำให้เหมาะสมกับการกำหนดราคาตัวเลือกของอเมริกันรวมถึงการประเมินค่าการออกกำลังกายในช่วงต้น ค่าที่คำนวณโดยใช้รูปแบบสองแบบที่ใกล้เคียงกับค่าที่คำนวณจากโมเดลที่ใช้กันทั่วไปอื่น ๆ เช่น Black-Scholes ซึ่งระบุถึงประโยชน์และความถูกต้องของโมเดลสองตัวสำหรับการกำหนดราคาทางเลือก โมเดลการกำหนดราคาแบบทวินามสามารถพัฒนาได้ตามการตั้งค่าของผู้ค้าและใช้แทน Black-Scholes